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2022年保加利亚数学奥林匹克试题解析本次试题中第1题.第4题.第5题此三题比较容易：第2题适合作为训练挖掘常见的性质.考察基本功：第3题容易陷入困境.实际突破口小，值得让学生好好体会：第6题是个十分优质的组合题.相当于联赛第三题到第四题之间的难度.适合作为考题或者限时训练.下面给出试题、解答和评注.笔者水平有限.不当之处还请指正，I.试题1.将边长为2022的白色正三角形T划分为若干边长为1.且每条边和T的某条边平行的正三角形单元格.对两个单元格.若它们有公共顶点，称它们是相邻的.伊万将其中一些单元格染成黑色.彼得不知染色的信息.所以选择一些单元格组成的集合S,然后伊万告诉彼得S中黑色单元格的个数的奇偶性.随后彼得就知道了异色相邻单元格的个数的奇偶性求S的所有可能取值2.如图.在锐角△ABC中，M为AB的中点.过B.C的圆与CM,BM分别交于点P.Q.设K为P关于M的对称点.⊙(AKM).⊙(CQM)再次交于点X.⊙(AMC).⊙(KQM)再次交于点Y.线段BP.CQ交于点T.证明：MT与⊙(MXY)相切3.正整数x>y>2022.满足xy+x+y为完全平方数.是否存在x,y使得对任意正整数z∈[x+3y+1,3x+y+1,均有x+y+z和x2+xy+y2不互素？修订日期：2022-05-20.14.设正整数n≥4.实数x1,x2,…xn,xn+1,xn+2中，xn+1=x1,xn+2=x2:如果存在a>0.使得对任意i∈{1.2.·，n}都有x2=a+x+1x+2.证明：x1,x2,·,xn中至少有两个数为负数5.等腰△ABC中，AB=4.BC=CA=6.在线段AB上的点X1,X2,X3.·,使得AX1,X1X2,X2X3,·组成一个首项为3.公比为}的无穷等比数列.在线段CB上的点Y,Y2,Y3.·,使得CY,YY2,YY3,·组成一个首项为3.公比为号的无穷等比数列.在线段AC上的点Z1,Z2,Z3,·,使得AZ1,Z1Z2,Z2Z3,…组成一个首项为3.公比为号的无穷等比数列.求所有正整数(a.b.c).使得AYa,BZ,CXc三线共点6.设正整数n≥2.正整数集合A1,A2.·,An与B1.B2,·.Bm满足对任意i.j∈{1.2.…，n},AnB,卡g,且对任意i.j∈{1.2.·，n},i卡),A:∩A=⑦，B:∩B,=0.将每个集合中的所有元素按降序排列.并计算相邻元素的差的值.求这些差中的最大值可能的最小值II.解答与评注题1将边长为2022的白色正三角形T划分为若千边长为1，且每条边和T的某条边平行的正三角形单元格.对两个单元格，若它们有公共顶点，称它们是相邻的.伊万将其中一些单元格染成黑色，彼得不知染色的信息，所以选择一些单元格组成的集合S,然后伊万告诉彼得S中黑色单元格的个数的奇偶性.随后彼得就知道了异色相邻单元格的个数的奇偶性.求|S的所有可能取值2
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